Đề bài: Ta có 1 đồng xu không rõ là 2 mặt này có cân đối hay không (vì nếu là đồng xu hoàn hảo thì xác suất mặt ngửa hay mặt sấp sẽ là 1/2). Tung 100 lần, đếm số lượt mặt ngửa và kiểm định tỷ lệ mặt ngửa có phải là 1/2 hay không (kiểm định xem đồng xu có cân đối hoàn hảo không)?
Giả sử đồng xu có xác suất ra mặt ngửa là \(P(X = \text{ngửa})\), do đó xác suất ra mặt sấp là \(P(X = \text{sấp}) = 1 - P(X = \text{ngửa})\).
Thực hiện 1 lần thử nghiệm [rút từ không gian mẫu ra 1 đồng xu để tung 100 lần]:
Ta tung đồng xu 100 lần, thu được 57 lần ngửa.
Do vậy xác suất ra mặt ngửa là p = 57/100 = 0.57, được tính từ mẫu (sample). Ta ước lượng ra quần thể (population) cũng là \(\hat{p} = 0.57\) với khoảng tin cậy 95% là [0.467 ; 0.667]
Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ tổng thể (population proportion)
prop.test(x = 57, # số lần thu được mặt ngửa (success)
n = 100, # tổng lần tung đồng xu (trial)
p = 0.5, # so sánh với xác suất 50%
conf.level = 0.95,
alternative = "two.sided")
1-sample proportions test with continuity correction
data: 57 out of 100, null probability 0.5
X-squared = 1.69, df = 1, p-value = 0.1936
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.4672127 0.6673464
sample estimates:
p
0.57 \(\text{H0: đồng xu cân bằng, xác suất ngửa bằng 50%.}\)
\(\text{H1: đồng xu không cân bằng, xác suất ngửa khác 50%.}\)
Với dữ liệu 57/100 và kiểm định hai phía, p-value xấp xỉ 0.1936, nên chưa đủ bằng chứng để chống lại giả thuyết H0, do đó ta fail to reject H0, nghĩa là đồng xu cân bằng.
Khoảng tin cậy theo trường phái Frequentist: Nếu thực hiện rất nhiều lần thử nghiệm (mỗi lần thử nghiệm tung 100 đồng xu và ghi nhận số mặt ngửa) thì 95% số khoảng tin cậy đó sẽ chứa giá trị thực của \(P\) (true population proportion) là 0.5.
Vì đây là khoảng tin cậy Frequentist [0.467 ; 0.667] nên ta không thể nói là khoảng tin cậy này có xác suất 95% chứa giá trị true proportion ==> Do đó để phát biểu khoảng tin cậy [lower, upper] có xác suất 95% chứa giá trị true proportion thì cần tính Bayesian Credible Interval.
1 lần thử nghiệm
set.seed(4)
dongxu <- sample(x = c("NGỬA", "SẤP"),
size = 100,
prob = c(0.5, 0.5),
replace = T
)
table(dongxu)dongxu
NGỬA SẤP
57 43 prop.test(x = 57, # số lần thu được mặt ngửa (success)
n = 100, # tổng lần tung đồng xu (trial)
p = 0.5, # so sánh với xác suất 50%
conf.level = 0.95,
alternative = "two.sided",
correct = T) # hiệu chỉnh khoảng tin cậy theo Wilson score
1-sample proportions test with continuity correction
data: 57 out of 100, null probability 0.5
X-squared = 1.69, df = 1, p-value = 0.1936
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.4672127 0.6673464
sample estimates:
p
0.57 # 95% CI theo Wald
p_ok <- 57/100\[\hat{p} \pm z \times SE(\hat{p})= \hat{p} \pm 1.96 \times \sqrt{\frac{\hat{p} \times (1-\hat{p})}{n}}\]
# upper limit
p_ok + 1.96 * sqrt((p_ok*(1-p_ok))/100)[1] 0.6670348# lower limit
p_ok - 1.96 * sqrt((p_ok*(1-p_ok))/100)[1] 0.4729652prop.test() is calculated using the Wilson score (với correct = F)
Cách tính khoảng tin cậy trong lệnh `prop.test()
library(binom)
binom::binom.confint(x = 57,
n = 100,
conf.level = 0.95,
methods = "all") method x n mean lower upper
1 agresti-coull 57 100 0.5700000 0.4721200 0.6627009
2 asymptotic 57 100 0.5700000 0.4729669 0.6670331
3 bayes 57 100 0.5693069 0.4730578 0.6647936
4 cloglog 57 100 0.5700000 0.4672266 0.6601779
5 exact 57 100 0.5700000 0.4671337 0.6686090
6 logit 57 100 0.5700000 0.4715207 0.6632347
7 probit 57 100 0.5700000 0.4718324 0.6640029
8 profile 57 100 0.5700000 0.4721113 0.6643420
9 lrt 57 100 0.5700000 0.4721031 0.6643469
10 prop.test 57 100 0.5700000 0.4672127 0.6673464
11 wilson 57 100 0.5700000 0.4721539 0.6626670100 lần thử nghiệm
sim_coin <- list()
for(i in 1:100){
dongxu <- sample(x = c("NGỬA", "SẤP"),
size = 100,
prob = c(0.5, 0.5),
replace = T
)
sim_coin[[i]] <- table(dongxu)
}
sim_coin_master <- do.call(rbind, sim_coin)
sim_coin_master <- as.data.frame(sim_coin_master)
sim_coin_master$p_sample <- sim_coin_master$NGỬA / 100
sim_coin_master NGỬA SẤP p_sample
1 44 56 0.44
2 47 53 0.47
3 44 56 0.44
4 49 51 0.49
5 42 58 0.42
6 47 53 0.47
7 50 50 0.50
8 55 45 0.55
9 38 62 0.38
10 48 52 0.48
11 47 53 0.47
12 51 49 0.51
13 55 45 0.55
14 52 48 0.52
15 54 46 0.54
16 48 52 0.48
17 49 51 0.49
18 53 47 0.53
19 60 40 0.60
20 53 47 0.53
21 54 46 0.54
22 49 51 0.49
23 49 51 0.49
24 50 50 0.50
25 43 57 0.43
26 50 50 0.50
27 53 47 0.53
28 41 59 0.41
29 45 55 0.45
30 50 50 0.50
31 44 56 0.44
32 51 49 0.51
33 51 49 0.51
34 55 45 0.55
35 39 61 0.39
36 41 59 0.41
37 52 48 0.52
38 54 46 0.54
39 49 51 0.49
40 47 53 0.47
41 51 49 0.51
42 48 52 0.48
43 48 52 0.48
44 42 58 0.42
45 57 43 0.57
46 54 46 0.54
47 60 40 0.60
48 49 51 0.49
49 47 53 0.47
50 46 54 0.46
51 53 47 0.53
52 50 50 0.50
53 50 50 0.50
54 57 43 0.57
55 47 53 0.47
56 49 51 0.49
57 51 49 0.51
58 55 45 0.55
59 48 52 0.48
60 54 46 0.54
61 59 41 0.59
62 36 64 0.36
63 44 56 0.44
64 58 42 0.58
65 50 50 0.50
66 52 48 0.52
67 50 50 0.50
68 49 51 0.49
69 49 51 0.49
70 47 53 0.47
71 59 41 0.59
72 51 49 0.51
73 48 52 0.48
74 49 51 0.49
75 44 56 0.44
76 53 47 0.53
77 42 58 0.42
78 49 51 0.49
79 49 51 0.49
80 55 45 0.55
81 55 45 0.55
82 56 44 0.56
83 53 47 0.53
84 56 44 0.56
85 47 53 0.47
86 52 48 0.52
87 43 57 0.43
88 45 55 0.45
89 50 50 0.50
90 55 45 0.55
91 58 42 0.58
92 53 47 0.53
93 58 42 0.58
94 53 47 0.53
95 50 50 0.50
96 48 52 0.48
97 48 52 0.48
98 47 53 0.47
99 53 47 0.53
100 55 45 0.55Thêm giá trị lower và upper limit
sim_coin_master$lowerCI <- NA
sim_coin_master$upperCI <- NA
sim_coin_master$pvalue <- NA
for(i in 1:100){
p_test <- prop.test(x = sim_coin_master[i, 1],
n = 100,
p = 0.5,
conf.level = 0.95,
alternative = "two.sided",
correct = T)
sim_coin_master$lowerCI[i] <- round(p_test$conf.int[1], 4)
sim_coin_master$upperCI[i] <- round(p_test$conf.int[2], 4)
sim_coin_master$pvalue[i] <- round(p_test$p.value, 4)
}
sim_coin_master$RUN <- paste0("sample_", 1:100)
sim_coin_master NGỬA SẤP p_sample lowerCI upperCI pvalue RUN
1 44 56 0.44 0.3420 0.5426 0.2713 sample_1
2 47 53 0.47 0.3704 0.5720 0.6171 sample_2
3 44 56 0.44 0.3420 0.5426 0.2713 sample_3
4 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_4
5 42 58 0.42 0.3233 0.5229 0.1336 sample_5
6 47 53 0.47 0.3704 0.5720 0.6171 sample_6
7 50 50 0.50 0.4038 0.5962 1.0000 sample_7
8 55 45 0.55 0.4475 0.6486 0.3681 sample_8
9 38 62 0.38 0.2864 0.4829 0.0214 sample_9
10 48 52 0.48 0.3799 0.5817 0.7642 sample_10
11 47 53 0.47 0.3704 0.5720 0.6171 sample_11
12 51 49 0.51 0.4087 0.6106 0.9203 sample_12
13 55 45 0.55 0.4475 0.6486 0.3681 sample_13
14 52 48 0.52 0.4183 0.6201 0.7642 sample_14
15 54 46 0.54 0.4378 0.6391 0.4839 sample_15
16 48 52 0.48 0.3799 0.5817 0.7642 sample_16
17 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_17
18 53 47 0.53 0.4280 0.6296 0.6171 sample_18
19 60 40 0.60 0.4970 0.6952 0.0574 sample_19
20 53 47 0.53 0.4280 0.6296 0.6171 sample_20
21 54 46 0.54 0.4378 0.6391 0.4839 sample_21
22 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_22
23 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_23
24 50 50 0.50 0.4038 0.5962 1.0000 sample_24
25 43 57 0.43 0.3327 0.5328 0.1936 sample_25
26 50 50 0.50 0.4038 0.5962 1.0000 sample_26
27 53 47 0.53 0.4280 0.6296 0.6171 sample_27
28 41 59 0.41 0.3140 0.5130 0.0891 sample_28
29 45 55 0.45 0.3514 0.5525 0.3681 sample_29
30 50 50 0.50 0.4038 0.5962 1.0000 sample_30
31 44 56 0.44 0.3420 0.5426 0.2713 sample_31
32 51 49 0.51 0.4087 0.6106 0.9203 sample_32
33 51 49 0.51 0.4087 0.6106 0.9203 sample_33
34 55 45 0.55 0.4475 0.6486 0.3681 sample_34
35 39 61 0.39 0.2956 0.4930 0.0357 sample_35
36 41 59 0.41 0.3140 0.5130 0.0891 sample_36
37 52 48 0.52 0.4183 0.6201 0.7642 sample_37
38 54 46 0.54 0.4378 0.6391 0.4839 sample_38
39 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_39
40 47 53 0.47 0.3704 0.5720 0.6171 sample_40
41 51 49 0.51 0.4087 0.6106 0.9203 sample_41
42 48 52 0.48 0.3799 0.5817 0.7642 sample_42
43 48 52 0.48 0.3799 0.5817 0.7642 sample_43
44 42 58 0.42 0.3233 0.5229 0.1336 sample_44
45 57 43 0.57 0.4672 0.6673 0.1936 sample_45
46 54 46 0.54 0.4378 0.6391 0.4839 sample_46
47 60 40 0.60 0.4970 0.6952 0.0574 sample_47
48 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_48
49 47 53 0.47 0.3704 0.5720 0.6171 sample_49
50 46 54 0.46 0.3609 0.5622 0.4839 sample_50
51 53 47 0.53 0.4280 0.6296 0.6171 sample_51
52 50 50 0.50 0.4038 0.5962 1.0000 sample_52
53 50 50 0.50 0.4038 0.5962 1.0000 sample_53
54 57 43 0.57 0.4672 0.6673 0.1936 sample_54
55 47 53 0.47 0.3704 0.5720 0.6171 sample_55
56 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_56
57 51 49 0.51 0.4087 0.6106 0.9203 sample_57
58 55 45 0.55 0.4475 0.6486 0.3681 sample_58
59 48 52 0.48 0.3799 0.5817 0.7642 sample_59
60 54 46 0.54 0.4378 0.6391 0.4839 sample_60
61 59 41 0.59 0.4870 0.6860 0.0891 sample_61
62 36 64 0.36 0.2682 0.4627 0.0069 sample_62
63 44 56 0.44 0.3420 0.5426 0.2713 sample_63
64 58 42 0.58 0.4771 0.6767 0.1336 sample_64
65 50 50 0.50 0.4038 0.5962 1.0000 sample_65
66 52 48 0.52 0.4183 0.6201 0.7642 sample_66
67 50 50 0.50 0.4038 0.5962 1.0000 sample_67
68 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_68
69 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_69
70 47 53 0.47 0.3704 0.5720 0.6171 sample_70
71 59 41 0.59 0.4870 0.6860 0.0891 sample_71
72 51 49 0.51 0.4087 0.6106 0.9203 sample_72
73 48 52 0.48 0.3799 0.5817 0.7642 sample_73
74 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_74
75 44 56 0.44 0.3420 0.5426 0.2713 sample_75
76 53 47 0.53 0.4280 0.6296 0.6171 sample_76
77 42 58 0.42 0.3233 0.5229 0.1336 sample_77
78 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_78
79 49 51 0.49 0.3894 0.5913 0.9203 sample_79
80 55 45 0.55 0.4475 0.6486 0.3681 sample_80
81 55 45 0.55 0.4475 0.6486 0.3681 sample_81
82 56 44 0.56 0.4574 0.6580 0.2713 sample_82
83 53 47 0.53 0.4280 0.6296 0.6171 sample_83
84 56 44 0.56 0.4574 0.6580 0.2713 sample_84
85 47 53 0.47 0.3704 0.5720 0.6171 sample_85
86 52 48 0.52 0.4183 0.6201 0.7642 sample_86
87 43 57 0.43 0.3327 0.5328 0.1936 sample_87
88 45 55 0.45 0.3514 0.5525 0.3681 sample_88
89 50 50 0.50 0.4038 0.5962 1.0000 sample_89
90 55 45 0.55 0.4475 0.6486 0.3681 sample_90
91 58 42 0.58 0.4771 0.6767 0.1336 sample_91
92 53 47 0.53 0.4280 0.6296 0.6171 sample_92
93 58 42 0.58 0.4771 0.6767 0.1336 sample_93
94 53 47 0.53 0.4280 0.6296 0.6171 sample_94
95 50 50 0.50 0.4038 0.5962 1.0000 sample_95
96 48 52 0.48 0.3799 0.5817 0.7642 sample_96
97 48 52 0.48 0.3799 0.5817 0.7642 sample_97
98 47 53 0.47 0.3704 0.5720 0.6171 sample_98
99 53 47 0.53 0.4280 0.6296 0.6171 sample_99
100 55 45 0.55 0.4475 0.6486 0.3681 sample_100sim_coin_master$RUN <- factor(sim_coin_master$RUN,
levels = rev(sim_coin_master$RUN))
sim_coin_master$NOTE <- ifelse(test = sim_coin_master$pvalue >= 0.05,
yes = "p-value >= 0.05 (H0 đúng)",
no = "p-value < 0.05 (H0 sai)"
)
table(sim_coin_master$NOTE)
p-value < 0.05 (H0 sai) p-value >= 0.05 (H0 đúng)
3 97 sim_coin_master$NOTE <- factor(sim_coin_master$NOTE,
levels = c("p-value >= 0.05 (H0 đúng)",
"p-value < 0.05 (H0 sai)"))library(ggplot2)
p1 <- ggplot(data = sim_coin_master,
mapping = aes(x = p_sample,
y = RUN)) +
geom_errorbar(mapping = aes(xmin = lowerCI,
xmax = upperCI,
color = NOTE),
width = 0.1) +
geom_point(shape = 21,
color = "black",
fill = "white") +
geom_vline(xintercept = 0.5,
color = "blue",
lty = 2) +
scale_color_manual(values = c("darkgreen", "red")) +
labs(x = "Xác suất ra mặt ngửa (trong 100 lần tung đồng xu)",
y = "Lần thử nghiệm") +
theme_bw(base_size = 16,
ink = "black",
paper = "white") +
theme(axis.title = element_text(color = "black")) +
theme(axis.text = element_text(color = "black")) +
theme(axis.ticks = element_line(color = "black")) +
theme(strip.text = element_text(color = "black"))
ggsave(filename = "p1.png",
plot = p1,
width = 8,
height = 18,
dpi = 300,
units = "in")
Sampling distribution (phân phối lấy mẫu) là phân phối xác suất của 1 chỉ số thống kê (parameter), trong trường hợp này là “tần suất ra mặt ngửa” được tính từ rất nhiều lần lấy mẫu ngẫu nhiên từ quần thể (ta dùng kỹ thuật mô phỏng để tạo ra nhiều lần lấy mẫu ngẫu nhiên).
In statistics, a sampling distribution or finite-sample distribution is the probability distribution of a given random-sample-based statistic.
par(mfrow = c(1,2))
hist(sim_coin_master$p_sample,
breaks = 10,
main = "Histogram của giá trị các xác suất mặt ngửa",
xlab = "Giá trị xác suất của mặt ngửa\ntrong các lần thử nghiệm (mỗi lẫn tung 100 đồng xu)")
abline(v = 0.5, lwd = 4, col = "red", lty = 2)
library(rcompanion)
rcompanion:::plotNormalDensity(sim_coin_master$p_sample)
abline(v = 0.5, lwd = 4, col = "red", lty = 2)
Câu hỏi: Ta nhìn đồng xu có vẻ không cân bằng lắm, nên ta có giả thuyết là A1 là xác suất mặt ngửa là 0,4 và cũng có thể xác suất mặt ngửa là A2 là 0.6. Tiến hành thí nghiệm tung 100 lần thì thấy có 57 lần mặt ngửa. Như vậy xác suất đồng xu mặt ngửa sau khi quan sát thấy kết quả thực tế này thì ta nghĩ là bao nhiêu? Hay là, xác suất mặt ngửa ở lần tung tiếp theo ta nghĩ là bao nhiêu.
Cách tiếp cận: Áp dụng định lý Bayes cho trường hợp tung đồng xu, tính theo công thức xác suất đầy đủ, ta có các giả thuyết prior ban đầu cho mặt ngửa là 0.4 và 0.6.
\(P(A1) = 0.4\)
\(P(A2) = 0.6\)
Mục tiêu là dùng định lý Bayes để cập nhật xác suất của hai giả thuyết sau khi quan sát dữ liệu.
Gọi \(D\) là sự kiện quan sát được 57 lần ngửa trong 100 lần tung đồng xu.
Theo phân phối nhị thức, ta có [xác suất] [để xảy ra kết quả có 57 lần ngửa trong 100 lần tung đồng xu], với xác suất ngửa (cho trước) p = P(A1) = 0.4 là:
\[P(X = k \text{ | ra mặt ngửa với giả định prior P(A1) = 0.4}) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
\[P(X = 57 \text{ | ra mặt ngửa}) = \binom{100}{57} \left(0.4\right)^{57} \left(1-0.4\right)^{100-57} = 0.0002285 = 0.022\%\]
choose(n = 100, k = 57) * (0.4)^(57) * (1-0.4)^(100-57)[1] 0.0002285792Do vậy xác suất quan sát dữ liệu \(D\) nếu (theo điều kiện) xác suất mặt ngửa \(A1\) cho trước là 0.4 sẽ là
\[P(D|A1) = 0.022\%\]
con số này cho thấy có rất ít khả năng [nếu tung 100 lần lên mà thu được 57 lần mặt ngửa], bởi vì dễ nhận thấy xác suất mặt ngửa (cho trước) chỉ khoảng 0.4 thì làm sao có đến 57 lần ngửa được.
Tương tự, nếu xác suất mặt ngửa theo giả thuyết A2 là 0.6, thì ta có
\[P(X = k \text{ | ra mặt ngửa với giả định prior P(A2) = 0.6}) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
\[P(X = 57 \text{ | ra mặt ngửa}) = \binom{100}{57} \left(0.6\right)^{57} \left(1-0.6\right)^{100-57} = 0.06672895 = 6.67\%\]
choose(n = 100, k = 57) * (0.6)^(57) * (1-0.6)^(100-57)[1] 0.06672895Do vậy xác suất quan sát dữ liệu \(D\) nếu (theo điều kiện) xác suất mặt ngửa \(A2\) cho trước là 0.6 sẽ là
\[P(D|A2) = 6.67\%\]
con số này cho thấy có NHIỀU khả năng [nếu tung 100 lần lên mà thu được 57 lần mặt ngửa], bởi vì dễ nhận thấy xác suất mặt ngửa (cho trước) chỉ khoảng A2 = 0.6 thì DỄ THU ĐƯỢC KẾT QUẢ 57 lần ngửa hơn là xác suất mặt ngửa (cho trước) chỉ khoảng A1 = 0.4.
Ta có xác suất xuất hiện sự kiện 57 lần ngửa trong 100 lần tung sẽ là tổng của các sự kiện xác suất đơn lẻ, theo công thức sau:
\[P(D) = P(D | A1) \cdot P(A1) + P(D | A2) \cdot P(A2)\] Thế các giá trị prior \(P(A1)\) và \(P(A2)\) vào
\[P(D) = 0.0002285 \cdot 0.4 + 0.06672895 \cdot 0.6 = 0.04012877 = 4\%\]
(0.0002285 * 0.4) + (0.06672895 * 0.6)[1] 0.04012877Như vậy với 100 lần tung bất kỳ thì xác suất để thu được 57 lần ngửa là 4% với hai giả định ban đầu là xác suất mặt ngửa \(P(A1)=0.4\) và \(P(A2)=0.6\).
Đây chính là xác suất biên của dữ liệu \(D\) xét trên cả hai giả thuyết prior ban đầu về khả năng ra mặt ngửa của đồng xu, xác suất này còn gọi là phần chuẩn hóa cho công thức định lý Bayes.
Định lý Bayes áp dụng như sau
\[P(A1 | D) = \frac{P(D|A1) \cdot P(A1)}{P(D)} = \frac{0.0002285 \cdot 0.4}{0.04012877}=0.002277668 = 0.22\%\]
(0.0002285 * 0.4) / 0.04012877[1] 0.002277668Như vậy, ban đầu ta tin là xác suất mặt ngửa \(P(A1)=0.4\) (prior) tuy nhiên khi quan sát dữ liệu \(D\) (data likelihood) thấy có 57 lần ngửa trong 100 lần tung, ta đã hiệu chỉnh lại [xác suất để xảy ra sự kiện mặt ngửa] trong [kịch bản niềm tin xác suất ban đầu \(P(A1)=0.4\)] chỉ là 0.22% (posterior), nghĩa là kịch bản xác suất mặt ngửa của đồng xu 0.4 này là rất thấp.
Do vậy, posterior là xác suất xảy ra [giá trị tham số] mà ta ước lượng ban đầu (prior), chứ tự thân posterior không phải là giá trị tham số đó!
Hay nói cách khác: Xác suất mà đồng xu có đặc điểm [xác suất mặt ngửa là 0.4] chỉ là 0.22%, do đó đồng xu này không bị lệch về phía [xác suất mặt ngửa là 0.4].
Định lý Bayes áp dụng như sau
\[P(A2 | D) = \frac{P(D|A2) \cdot P(A2)}{P(D)} = \frac{0.06672895 \cdot 0.6}{0.04012877}=0.9977223 = 99.7\%\]
(0.06672895 * 0.6) / 0.04012877[1] 0.9977223Giải thích tương tự, ta có Xác suất mà đồng xu có đặc điểm [xác suất mặt ngửa là 0.6] lên đến 99.7%, do đó đồng xu này bị lệch về phía [xác suất mặt ngửa là 0.6].
Tóm lại: Ban đầu ta tin rằng xác suất mặt ngửa là 40% (kịch bản A1) và cũng có thể là 60% (kịch bản A2). Sau khi quan sát 57 lần ngửa trong 100 lần tung đồng xu, dữ liệu này ủng hộ mạnh mẽ giả thuyết là xác suất mặt ngửa là 0.6 (ủng hộ kịch bản A2), bởi vì xác suất hậu nghiệm của giả thuyết A2 này tăng lên đến 99.7%, so với xác suất hậu nghiệm của giả thuyết A1 chỉ là \(1- 0.9977223 = 0.002277668\)
Lưu ý rằng kết luận trên phụ thuộc vào giả thuyết (hai kịch bản A1 và A2) về xác suất ra mặt ngửa 0.4 và 0.6 mà thôi, nó không có nghĩa là ta chứng minh xác suất trực (true prorortion) thực tế chính xác có phải là 0.6 hay không. Muốn tìm ra true proportion ta phải thực hiện thêm thí nghiệm để “update datat” từ đó mới lần tìm ra kết quả chính xác của xác suất mặt ngửa đồng xu, hay nói cách khác để kiểm định xem đồng xu có công bằng hay không.
Đặc điểm của suy luận Bayesian là posterior của lần thử nghiệm trước sẽ trở thành prior của lần thử nghiệm sau, giúp update dần mô hình xác suất để tiến trình suy luận gần đúng con số chính xác của quần thể.
Giả sử ta thực hiện tiếp 1 lần tung xác suất, lần này thu được 54 mặt ngửa, thì posterior lúc này được tính như sau:
Dựa trên lần thử nghiệm trước, ta khu trú kịch bản xác suất đồng xu là \(P(A2) = 0.6\), giờ ta có thể tạo ra thêm 1 kịch bản xác suất là \(P(A3) = 0.5\). Áp dụng cách tính tương tự, ta sẽ có:
Tính \(P(A2)\) và \(P(A3)\)
\[P(X = 54 \text{ | ra mặt ngửa}) = \binom{100}{54} \left(0.6\right)^{54} \left(1-0.6\right)^{100-54} = 0.03811036 = 3.81\% = P(A2)\]
choose(n = 100, k = 54) * (0.6)^(54) * (1-0.6)^(100-54)[1] 0.03811036\[P(X = 54 \text{ | ra mặt ngửa}) = \binom{100}{54} \left(0.5\right)^{54} \left(1-0.5\right)^{100-54} = 0.0579584 = 5.57\% = P(A3)\]
choose(n = 100, k = 54) * (0.5)^(54) * (1-0.5)^(100-54)[1] 0.0579584Ta thấy với dữ liệu mới là 54 lần ngửa trong 100 lần tung đồng xu, thì khi giả thuyết đồng xu công bằng \(P(A3) = 0.5\) thì xác suất ra đúng con số 54 lần ngửa sẽ cao hơn nếu giả thuyết đồng bị lệch \(P(A2) = 0.6\).
Tính \(P(D)\)
\[P(D) = P(D | A2) \cdot P(A2) + P(D | A3) \cdot P(A3)\] Thế các giá trị prior \(P(A2)\) và \(P(A3)\) vào
\[P(D) = 0.03811036 \cdot 0.6 + 0.0579584 \cdot 0.5 = 0.05184542 = 5.18\%\]
(0.03811036 * 0.6) + (0.0579584 * 0.5)[1] 0.05184542Lúc này với dữ liệu 54 lần ngửa trong 100 lần tung, ta tính:
Tính xác suất để xuất kịch bản A2 khi ta biết dữ liệu D là 54 lần mặt ngửa trong 100 lần tung. Hay nói gọn hơn là: P(A2|D) là xác suất cho giả thuyết A2 = 0.6
\[P(A2 | D) = \frac{P(D|A2) \cdot P(A2)}{P(D)} = \frac{0.03811036 \cdot 0.6}{0.05184542}=0.441046 = 44.1\%\]
0.03811036*0.6/0.05184542[1] 0.441046P(A3|D) là xác suất cho giả thuyết A3 = 0.5
\[P(A3 | D) = \frac{P(D|A3) \cdot P(A3)}{P(D)} = \frac{0.0579584 \cdot 0.5}{0.05184542}=0.5589539 = 55.9\%\]
0.0579584*0.5/0.05184542[1] 0.5589539Như vậy ở lần thử nghiệm tiếp theo ta thu được 54 lần mặt ngửa trong 100 lần tung, thì kịch bản A3 đồng xu công bằng $P(A3) = 0.5 có xác suất là 55.9% cao hơn kịch bản đồng xu bị lệch về mặt ngửa \(P(A2) = 0.6\) vì xác suất cho kịch bản A2 thấp hơn, chỉ còn 100 - 55.9 = 44.1%. Hay nói cách khác sau mỗi lần thử nghiệm ta có thể đề xuất ra kịch bản xác suất phù hợp hơn, nhuyễn hơn để kiểm chứng và chọn lựa kịch bản xác suất cao nhất cho lần hiệu chỉnh tiếp theo cho đến khi thu được true proportion.
Lưu ý: mũi tên này không phải “bê nguyên xi” giá trị posterior vào prior, mà posterior giúp chọn prior (kịch bản niềm tin xác suất ban đầu) phù hợp cho lần hiệu chỉnh xác suất tiếp theo.
Cách tiếp cận xác suất Bayesian trong trường hợp này được tính chính xác hơn khi ta có một dãy prior (numeric) với xác suất từ 0.4 đến 0.6 (vì ta tin rằng xác suất đồng xu ra mặt ngửa có thể dao động trong khoảng này), khi đó ta sẽ dùng phân phối Beta và áp dụng package R để tính ra kết quả.
Các bạn xem video của GS Nguyễn Văn Tuấn trình bày rất rõ ở đây. Bài giảng 55: Suy luận Bayes với mô hình beta-binomial
Minh họa trực quan về phân phối xác suất posterior khi update dữ liệu, từ đó đề xuất ra xác suất “true proportion” chính xác hơn khi có thêm evidence/data dữ liệu mới.
https://mariokrapp.com/2025/08/05/coin_flip.html
https://www.probabilisticworld.com/anatomy-bayes-theorem/
https://phas.ubc.ca/~oser/p509/Lec_05.pdf